您是否注意過，當激光筆的光斑投射在墻面上時，它的邊緣總是朦朧如霧，而中心卻明亮如星？這種看似簡單的光斑背后，隱藏著一種跨越數學與物理的深邃規律——高斯光束。

     今天，我們將揭開這束光的密碼：它是如何被數學預言，又如何成為激光技術的靈魂？

    光束在垂直于光軸平面上的電場可由高斯方程表示，有時還會有附加的拋物線型相位曲線。

     尤其是在激光物理中，激光光束通常為高斯光束，是以數學家和物理學家Johann Carl Friedrich Gau?命名。這時功率為P的光束光強的橫斷面可由高斯方程表示： 

這里光束半徑w(z)為光強降為峰值的1/e2 (≈?13.5%)時距光軸的距離。孔徑半徑為w時可以透射約86.5%的光功率。如果孔徑半徑為1.5w或者2w，傳輸比例分別提高到 98.9%和99.97%。 

     除了強度可以采用高斯方程描述，高斯光束的橫向相位曲線可由最多二階多項式來描述。在一個方向上相位的線性變化可由一個傾角描述，相位的二階變化則與光束的發散和會聚相關。

高斯光束的傳輸
 

通常在傍軸近似適用的情況下將光束看做高斯光束，即光束發散角比較小。這一近似下，傳播方程中的二階導數項可以忽略，只得到一階微分方程。并且采用這種近似時，高斯光束在自由空間中傳播仍然保持高斯型，其參數會發生一些變化。一束單色光束，波長為 λ，在z軸傳播時，電場的復振幅為：

最大幅值為|E0|，束腰處的光束半徑為 w0，波數 k?=?2π?/?λ，zR為瑞利長度，波前的曲率半徑為R(z)。震蕩的實數電場可以通過乘以相位因子exp(i?2π?c?t?/?λ) 并且取實部得到。 

圖1：高斯光束焦點處的電場分布。這時光束半徑比波長稍大，光束發散角很大。根據以上方程，場由左側向右側移動。 

在傳播方向上的光束半徑變化為： 

其中瑞利長度為：

     決定了在多長距離范圍內光束不會發散很嚴重的傳播（之前通常采用共焦長b描述，它是瑞利長度的二倍）。準直光束（光束半徑接近于常數）的瑞利長度與傳播距離相比比較大。 

圖2：高斯光束的光束半徑變化（藍色曲線）。兩條豎線代表瑞利長度，虛線表明遠離束腰的漸變變化情況。 

     以上方程中 z?=?0對應于束腰或者焦點，在該點光束半徑是最小的，相位曲線是平坦的。波前曲率半徑為R的演化遵循方程： 

     在透明介質中傳播時，λ是介質中的波長（非真空波長）。上面采用的其它參數和方程都不用改變，這時假設了介質是各向同性、均勻和無損耗的。

圖3：具有彎曲波前的高斯光束。在接近于焦點和遠離焦點時曲率都很小。電場中的反正切項對應的是古依相移，對于光學諧振腔的諧振頻率非常重要。 

     遠場的光束發散角為： 

     表明束腰半徑越小，波長越長，則遠離束腰后光束的發散越強。高斯光束的光束參數乘積（束腰半徑與遠場發散角的乘積）等于 λ/π，只與波長有關。如果激光光束的光束質量是非理想的，該值會更大。 

     傍軸近似需要焦點處光束半徑比波長大。這表明這時光束發散角不會很大，并且瑞利長度遠大于光束半徑。緊聚焦光束一般不能很好的滿足傍軸近似，這時需要更加復雜的方法來計算光束傳播情況。 
 

復數參數 

在z處高斯光束的狀態可以由一個復數q表征： 

這樣復電場可寫為： 

傳輸一定距離可以簡單的表示為該距離上q參數的增加。當高斯光束通過一個曲面鏡或者透鏡時， q參數變化可由ABCD矩陣表示： 

 像散光束
在兩垂直的橫平面方向上，寫為x和y方向，高斯光束的半徑和發散角可能不同。上面給出的方程可分別用來描述每一方向上光束半徑的變化。如果兩個方向上的焦點位置不重合，就稱該光束是像散的。 

高斯光束和諧振腔模式

如果諧振腔是穩定的，諧振腔中的光學介質是各向同性的，介質表面要么是平坦的或者是拋物線形狀的，那么光學諧振腔橫向的低階模式（TEM00或者橫向基模）就是高斯模。因此，只輻射橫向基模的激光器輻射的光束接近于高斯型。而任何偏離之前描述的條件，例如，增益介質中存在熱透鏡效應等，都會使光束為非高斯型，同時還會激發多個縱模。更高階縱模可由厄米-高斯方程或者拉蓋爾-高斯方程來描述。任意情況下，與高斯譜型的偏離都可以由 M2因子定量表示。高斯光束具有最高的光束質量，對應的光束參量乘積最小，并且對應的M2 = 1。 

     光纖的基模并不嚴格為高斯型，但是形狀與高斯型差別不是很大。因此，采用合適的光學元件，高斯光束可以有效進入單模光纖中（80%或更大）。 

高斯光束的重要性

高斯光束的重要性體現在以下幾個重要特性上： 

1.在光軸的任意位置處高斯光束的強度橫斷面曲線都是高斯型，只是光束半徑會發生變化。 

2.當腔內不存在光束畸變的情況下，高斯光束為光學諧振腔的低階模式（諧振腔模式）。因此許多激光器的輸出都是高斯光束。 

3.單模光纖中的模式形狀接近于高斯型。通常在計算中會采用高斯近似因為這在計算光束傳播情況時相對簡單。 

4.高階模式對應的是厄米-高斯型。場分布更加復雜，光束參量乘積更大。 

下一次，當您用激光遙控器打開電視，或是在機場掃描行李的紅色光幕前駐足，不妨想象這道光在空間中延展的曲線：它不僅是科學上的一個經典答案，更是無數未來技術等待書寫的空白頁腳注。正如光本身從不停止傳播，人類對它的探索，也永遠在路上。