圖1　負載變化過程

三坐標測量機運行過程中的典型負載變化情況見圖1。
    在對動態誤差的實驗研究中，往往測量各構件繞氣浮導軌連接處的偏轉角誤差是比較容易的。各構件的動態偏轉誤差綜合起來，成為測頭位置處的動態位移誤差。為估計這一誤差的大小，Weekers［1］等提出了一種運動學模型。由于三坐標測量機種類的多樣性，模型往往不具有普遍性。本文針對一種三坐標測量機具體結構，進行了動態偏轉角誤差的測量，并推導出由動態偏轉誤差得到測頭處的動態位移誤差的方法。
1、理論分析
    實驗研究用測量機的結構見圖2。橫梁帶動x-滑架及測頭沿y方向運動，x-滑架在橫梁上沿

圖2　測量機結構

    x向移動，安裝在滑架上的z軸帶動測頭沿z向移動。所有的導軌都是氣浮導軌。其中在橫梁的左右兩端分別有對稱的x向氣浮導軌。在高速運動過程中，橫梁本身、x-滑架及z軸的分布質量作用在橫梁上，帶來了附加的慣性力，使橫梁相對于氣浮導軌處產生偏轉，并使橫梁產生動態彎曲，所有這些偏轉都將造成動態誤差。
    橫梁的具體結構見圖3。采用的坐標軸系為機器坐標系。A和B為氣浮導軌連接處。設A點到x-滑架之間的距離為a，B點到x-滑架之間的距離為b。由x-滑架和z軸的質量帶來的集中慣性力為P，由橫梁的分布質量帶來的均布慣性力載荷為q。

圖3　橫梁結構

    在高速測量中，由于分布質量產生的慣性力將使橫梁發生彎曲變形，而A、B的氣浮導軌也具有一定的剛度，使x-滑架相對于導軌也產生一定的偏轉。這樣，在A、B將有附加的力矩mA、mB作用，橫梁發生的是復雜變形。
    由于三坐標測量機具體結構和運動的復雜性，在運動過程中的慣性力的大小是很難確切知道的，所以要通過其它的途徑來解決這一問題。當橫梁沿y軸運動時，動態偏轉誤差是繞z軸的偏轉角，可以用εz(y)來表示。從理論上可以證明，在氣浮導軌力矩剛度和橫梁彎曲剛度已知的情況下，只要測量出氣浮導軌滑架A、B兩點的偏轉角誤差，就可以得到測頭位置處的動態位移誤差。
    設在A、B點測得的動態偏轉角分別為εz(y)A、εz(y)B，則

（1）

設橫梁的彈性模量為E，慣性矩為I，則式(1)可以寫為

（2）

設氣浮導軌的力矩剛度為Kair，則

令Kbeam=EI，則式(2)可寫為

（3）

由式(3)可以解出

（4）（5）

式中，λ=(1+a)/(b-a)。
設測頭位置處的動態位移誤差為δy(y)，則

（6）

將式(6)中各分量分別求出，得

（7）

（8）

（9）

（10）

    從以上可以看出，當a和b的值比較接近時，(a-b)→0。用式(7)～式(10)得到的結果 將有較大的不準確性。為解決這一問題，我們除測量出氣浮導軌A、B兩點的偏轉角誤差εz(y)A、εz(y)B外，另外測量測頭位置處的偏轉角誤差εz(y)P。對于εz(y)P，有

（11）

式中，

代入式(11)并考慮到mA=Kairεz(y)A和mB=Kairεz(y)B，有

（12）

    將式(12)與式(3)聯立，即可解出P和q。測頭位置處的動態位移誤差為δy(y)可用與式(7)～式(10)類似的方法得出。
2、實驗過程及結果
    在實驗中，往往測量各構件繞氣浮導軌連接處的偏轉角誤差是比較容易而且可行的。各構件的動態偏轉誤差綜合起來，成為測頭位置處的動態位移誤差。測量各構件繞氣浮導軌連接處的偏轉角誤差有很多方法，例如用激光干涉儀就可以準確地得到測量結果。但是激光干涉儀的測量結果受環境參數影響較大，對使用環境要求較高。在實際中，往往希望用較簡單的方法來完成測量任務。為達到這一目的，我們在所研究的三坐標測量機上用其它方法進行了實驗，采用的儀器是微位移傳感器。實驗中實際應用的是電感測微儀。

圖 4

    以測量A點繞z軸的偏轉角εz(y)A為例（見圖4），2個經過標定的電感測微儀測頭分別布置在1點和2點并垂直于y向導軌面。設在1點的電感測微儀的測量值為d1，在2點的電感測微儀的測量值為d2，1、2兩點間沿x軸方向上的距離為L，則A點繞z軸的偏轉角εz(y)A為

（13）

    其它各角度誤差可用類似的方法測出。εz(y)A測量結果見圖。此時，測量機的速度為100 mm/s，加速度為100 mm/s2。
    在測量過程中，我們發現導軌面的平面度對測量結果的準確性有很大的影響。為了消除這一誤差因素，我們對A點繞z軸的偏轉角εz(y)A進行了準靜態測量。這時測量機的速度為10 mm/s，加速度為10 mm/s2。測量結果見圖5b。

圖 5 測量結果

    對比圖和圖5b的結果，我們可以看出，起動和減速階段的慣性力造成了滑架的偏轉。這一偏轉量將導致測頭位置處的位移誤差。同樣，由于導軌面的平面度也可導致滑架的偏轉，從而引起測頭位置處的位移誤差。在本實驗中，由于導軌面的平面度導致滑架的zui大偏轉為0.012 mrad，zui大動態偏轉誤差為0.018 mrad。
3、氣浮導軌剛度測量
    可以看出，氣浮導軌仍然是剛度較差的環節，其主要原因是氣膜剛度較差。在實際的研究過程中，為了了解氣浮導軌的剛度，往往采取直接測量的方法。目前，關于氣體軸承剛度的實驗研究，仍停留在靜態測試階段。三坐標測量機在實際應用中，速度是有一定限制的。即使在高速運動過程中（v=1000 mm/s），速度與音速相比仍然比較低，所以可以用靜態剛度來代替這里的動態剛度［3］。

圖 6　測量裝置

    氣浮導軌力矩剛度的測量裝置見圖6。用不同重量的重塊進行加載?；艿霓D角變化用電感測微儀測出。測量方法與圖4所示相同。設力矩變化為ΔM，轉角變化為Δθ，則力矩剛度為

（14）

4、結論
    三坐標測量機的動態誤差主要是由各構件繞氣浮導軌連接處的偏轉和各運動構件本身的彎曲變形造成的。當測量速度較低時，這一誤差往往很小，可以忽略不計。當測量速度較高時，尤其在高速掃描測量中，這一誤差對測量結果影響較大。在對動態誤差的實驗研究中，往往測量各構件繞氣浮導軌連接處的偏轉角誤差是比較容易而且可行的。各構件的動態偏轉誤差綜合起來，成為測頭位置處的動態位移誤標測量機坐構，得到動的具體結差。因此，要針對三態偏轉誤差和測頭處的動態位移誤差的轉換關系。運用本文提出的方法，可以方便地估計三坐標測量機動態誤差的大小。在三坐標測量機的設計和測量方案的優化中都有很大作用。