動態光散射檢測電機轉速的互信息函數分析

王沙,楊志安，任中京

(濟南大學理學院，濟南250022)

摘要：通過計算互信息函數,對動態光散射得到的電機轉速的時間序列進行了分析。研究表明，互信息函數法能 準確地測出電機轉速。同時，由于互信息函數自身的優點-一能實際地反映出數據之間的相互關聯，因此,與自相關函 數法比較,互信息函數法可反映出更多的動力學信息。對實驗數據的時間序列作了二維的相空間重構,從重構圖形發現 系統有2周期行為,并呈現有一些新現象。

 關鍵詞：光學測量;互信息函數；動態光散射；自相關函數；相空間重構

1引言

本文利用互信息函數對動態光散射法測電機轉 速的實驗進行了研究，準確測出了電機的轉速。本 文對實驗數據的時間序列作了二維的相空間重構， 發現了一些新的現象并進行了討論。這些結果是以 往自相關函數法^[1]分析中所沒有的，文中比較了互 信息函數法與自相關函數法^[2]兩種方法的優劣。

2原理

按Shannon的信息理論，設S表示一組訊號為 S1 , S2 ,…，Sn的系統,出現Si的概率是P_s⁽nJ , i = 1, 2,, n。對另一組訊號為q , qi,  qn的系統Q ,出 現qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 ，2 ， n。q同時出 現的概率是Psq (Si, qj)。互信息的定義為：

I(S, Q)度量的是變量S與Q之間的一般性關聯程 度,或比值P_sq(Si, qj) / P_s(Si) P_q(qj)的整體不平整 程度。互信息越大，變量S與Q之間的關聯程度越強，系統的不平整程度越高，系統越不均勻；互信息 越小，變量S與Q之間的關聯程度越弱，系統的不 平整程度越低,系統越均勻。

在光子互信息法檢測電機轉速的實驗研究中， 主要關心的是測量數據隨延遲時間T的周期性，從 而得出電機的轉速。在計算中對某給定的延遲時間 T，令[s, q] = [x (t) , x (t + T)],這時互信息 I 是 延遲時間T的函數。

因為電機轉動是周期性的動力系統，其狀態隨 時間的演化可表示成s = x(T) = sint,則延遲坐標可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) ，其中T是延遲時間。當延遲Ti = 0時,q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t，這時s與q是同一變量,s與q間的關聯zui 強,這時I( Ti；取極大值。設系統周期是r,當h = t 時,q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、 I(T2)又取極大值,則兩個極大點之差乃Ti = t 即為系統的周期。所以只要找出互信息I的兩個相 鄰極大值所對應的極大點Ti和T2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系統的周期。當周期t確定后，就可求出 轉速。另外利用由互信息I( T)的極大值來確定周 期,易于辨別和計算。

3互信息的計算。

互信息I(S , Q)的計算可用等間距劃分空間格子的方法進行：由給定的延遲時間T得到(s’q)，作出（s , q)平面，在(s’q)平面上重構出圖形（例如 后面的重構圖7) ，再在圖形上對欲求互信息I(S ， Q)所需的點集區域劃出矩形框A。設^是A在s方 向的長度,Aq是A在q方向的長度，然后把A再等間 距地劃分成小格子e。方向小格子的長度記為&_s’s 方向小格子的數目為M，所以As = Me_s。同理,q方 向小格子的長度記為eq, q方向小格子的數目為M^f，則A = M,e_q。在A中小格子e的總數為M X m'。 設⁽a ， b)是所劃格子A的起始點，對米樣點(s，q) 作下述判斷：

若滿足

表明(s，q)在小格子ei中就進行一次記錄，直到 將所有的數據點全部搜尋一遍，記錄落入標號為(i ’ j)的小格中所有的數據點同時記錄落入范圍 在i - 1到i內的點數N_s,和從j - 1到j內的點數 Nq,即可得到，P_sq (si ’ qj) = Nsq/ Ntotal ， Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 樣點數。將Psq、q代入公式（1) 就可求出在給 定延遲時間T值下的互信息值I(S ’ Q) ^[47]。

在測電機轉速的實驗中，由于電機所帶動的轉 動圓盤不是*均勻的，在轉動的過程中，從其上面 散射的光就會呈現周期性。我們首先用探測器來接 收這些散射光，得到散射光的時間序列；其次編制出 計算互信息的程序，計算出給定延遲時間T值下的

互信息值I( T) ，得出互信息函數曲線;zui后利用互 信息函數曲線，求出轉動的周期性，從而求出轉速。

4實驗裝置

實驗系統如圖1所示。

圖1實驗系統結構示意圖

取樣點處的光子數隨時間的變化

圖3對實驗數據的互 信息處理（I-t圖）

用直流電 動機帶動圓盤 轉動，電機轉速 可調。圓盤散 射的光經過兩 個光闌及透鏡圖2 的會聚由光電 倍增管接收,:，

把光電數字信 號進行互信息 處理，就得出互 信息曲線。

在一定的 測量時間內，米 集的光子數隨

時間變化的曲線如圖2所示。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號顯現了出來。

5由實驗數據計算電機轉速

對電機施加不同電壓’電機得到不同轉速。采集 某一轉速下隨時間變化的光子數’用自編軟件對采 集到的數據計算互信息函數。對確定的延遲時間T, 得到相應的互信息/值/對不同的延遲時間r,得到 不同的互信息值，可得到互信息的函數曲線。分析互信息函數欠曲線的周期特性，可計算出相應的轉速。

對一組數據的互信息曲線(如圖3)進行相應轉速計算：由互信息極大點可知圓盤轉動周期為25 *2ms，轉速

n =60/ (25 X2 X10"³) = 1200(r/min)

所得結果與文獻[2]所用的自相關函數(用R表示)

圖4同一組實驗數據的自相關函數圖（R-t）

見圖4)所計算出的電機轉速相同。這說明把互信 息函數法應用于動態光散射測電機轉速的實驗中， 是可行的。

6相空間時間延遲重構原理

對時間序列進行動力學分析的一個前提，是必 須有一個可用于工作的相空間。由于不知道系統的 動力學方程或模型,而且從實際測量中僅能得到一 個單標量的時間序列，因而從這個單標量的時間序 列重構相空間，就成為時間序列分析的基礎之一。

相空間重構的方法有多種，zui常用的是 Packard^[5]等人提出的時間延遲坐標的思想，重構出 所觀測到的動力系統的相空間。他們指出，對一組 觀測標量s (1) ,s(2) … s ( n)中的某個值s ( n) 可 得到延遲T時刻后的測量值s(n + T) ’然后使用這 種時間延遲的集合構造出一個d維矢量

x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]

式中T為時間延遲;d為嵌入維。相空間重構的結 果應保留原系統的動力學性質和幾何性質，這要求 重構變換是嵌入,這一點可由Takens^[6]定理保證。 這時，這個矢量包含了原始的實際變量的動力學信息，這樣就重構出了所需要的相空間。

7對實驗數據的二維重構

Taken定理給出的僅是嵌入的充分條件，為了計算互信息，只需對系統進 行二維重構即 可。采集另一 轉速下電機的 一組實驗數據 進行二維重 構，延遲時間 T從1取到 140,計算出互 信息值’相應 的互信息函數 曲線是圖5,相 應的自相關曲線見圖6。

從這組數據測出的電機轉速：由兩個互信息相 鄰極大值的間隔可知電機旋轉周期為13 X2ms,則 轉速 n = 60/ (13 X2 X10^-3) = 2307. 7r/min。從這 組數據的自相關函數圖6可明顯看出，自相關把噪 聲抹平了，能很好地提取出系統的周期信號。而互 信息函數能反映出更多的動力學信息，由于噪聲或 其他細節的干擾，周期性減弱，但仍能從兩個相鄰的 互信息極大值判斷出系統所具有的周期特性。

選取幾個延遲時間，做出二維重構圖如圖7(a)- (e) 。

在T = 51 ,89兩個互信息極大點處作出的重構圖[如圖7 (a) , (e)]。

圖7對一組實驗數據的相空間二維重構圖

軌道基本上擠壓在主對角線上，這時失真zui大，關聯zui強。這個結果表明，所討 論的系統是確定論的系統。當互信息處于相對較小值的點上做出的重構圖，軌道開始展開。當互信息取極小值時，重構圖軌道整體展開到zui大[如圖7 (b) ,(c)]。當T由小逐漸變大的過程中，軌道隨著互信息值的增大而展開，隨著互信息值的減小而壓縮;軌道隨著互信息值的再增大而再展開，隨著互信 息值的再減小而再壓縮，不斷重復此過程。這說明系統的動力學有周期性,互信息函數刻畫了這種周期規律。

從圖7(b)中可以明顯看出，重構的曲線繞了兩 圈后與自身重合，這反映了系統具有二周期特性，即 系統整體有一個大周期,里面還套著一個小周期。 這個結果表明，系統除了有整體的轉動周期外，還有 因測試對象不是理想的轉動，如電機本身的不均勻, 及測試對象不光滑，此外還有環境及噪聲等其它因 素引起的附加的周期和非周期行為。

圖7(c)的重構圖與圖7(b)的重構圖有明顯的 區別，圖7(b)中只有正向轉動的行為,而圖7(c)中 除了有正向轉動的行為外,還有逆向轉動的部分。

另外它們的拓撲不同，主要表現在圖7(c)中有兩個 交叉點，而圖7(b)中只有一個交叉點。這些結果反 映出，在電機轉動這一簡單的實驗中，包含有復雜的 動力學內容。但是這種逆向轉動的原因，及不同的 拓撲所包含的物理意義還不清楚，有待進一步研究。

8總結

本文將互信息函數應用于動態光散射檢測電機 轉速的研究，準確地測出電機轉速，這一結果與自相 關函數法的結果一致。并且互信息函數法是真正意 義上的相互關聯，可得到更多系統的動力學信息，這 些信息常常被淹沒于噪聲中。

同時，本文將相空間二維重構應用于動態光散射檢測電機轉速的研究中，從相空間重構圖中可以 得出許多的動力學信息，比如系統的二周期性，實驗 受外界的噪聲干擾等。這些現象有待進一步研究。