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電化學阻抗譜數學理論（EIS-Math）

1 技術理論

阻抗的定義是衡量電路在施加交流電通過時困難程度。它類似于歐姆定律，但與歐姆定律不同的是，阻抗可以根據施加電位或電流頻率的函數而變化。

在EIS實驗中，如果施加的信號是電位而測量的結果是電流，則稱為“恒電位EIS"。當施加的信號是電流而測量的結果是電位時，它被稱為“恒流EIS"。對于恒電位EIS，施加電位的形式如式1所示:

其中為潛在的正弦波幅度，為角頻率，為時間，項表示波形的相位。如果足夠小，使得系統是線性的，則生成的電流波形也是正弦的，并且與輸入信號具有相同的頻率;但也可能發生相移，如式2所示:

其中為當前正弦波幅度，為相位角位移。 需要對施加的和產生的波形(公式1和2)進行更方便的數學重排，以清楚顯示測量的阻抗。這是通過歐拉公式使用復數坐標來實現的，歐拉公式定義為:

其中表示虛單位(不是傳統的符號，以防止與表示電流的符號混淆)，是任何實數。將代入類似于式1和式2形式的角度，其中為任意給定的相位角位移，所有項乘以給定的恒定振幅，則式3重新排列如下:

方程4的右邊是一個復數，而左邊只包含一個實數。因此通過等同方程兩邊的實部，得到以下表達式:

其中是數字的實部。等式5右邊的第二項被消除了，因為它是虛數，并且運算符從左邊被刪除，因為實數的余弦值也是實數:

方程6進一步簡化如下:

其中是所有定常項的集合，相當于以下內容:

利用式7，分別將式1和式2中所示的外加電位和響應輸出電流波形改寫為:

其中定不因時間變化的常量和等價于:

阻抗有效性的一個條件是穩定性(即穩態或定常)。

因此，根據公式9至12，阻抗表達式類似于歐姆定律如下:

將式11和式12代入式13可得:

式中為阻抗幅度，等價于。利用歐拉公式(式3)，最終將式14展開為:

這種數學上的重新排列允許分別計算阻抗的實部，相當于和虛部相當于

在EIS實驗中，大多數商業軟件包自動對每個頻率的輸入和輸出信號進行傅里葉變換，以提取和的相應值。然后將這些值與公式15一起用于計算和。因此，典型EIS實驗的結果是一個包含五列的數據表: 、、、和。

2 參考文獻

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