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微分幾何基礎(chǔ)

微分幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要分支，在理論探索和實(shí)際應(yīng)用中都是重要學(xué)科。大名鼎鼎的高斯、歐拉是微分幾何學(xué)派的創(chuàng)建者（是否記得多少公式和定理以這兩人的名字命名）。20世紀(jì)是微分幾何發(fā)展迅猛的100年，中國(guó)的數(shù)學(xué)家也做出過(guò)重要貢獻(xiàn)，如陳省身、邱成桐（菲爾茲獎(jiǎng)得主）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，微分幾何是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)，逼真酷炫的電腦游戲、電影等，都是在微分幾何基礎(chǔ)上的產(chǎn)業(yè)化。在機(jī)器人領(lǐng)域，核心控制系統(tǒng)需要合適的傳感器（如相機(jī)）獲取信息，并理解環(huán)境信息，屬于計(jì)算機(jī)視覺(jué)的范疇；如需完成復(fù)雜動(dòng)作，如抓取、放置等操作，則需要理解物體的幾何信息，需要用幾何特征描述來(lái)決策機(jī)器人要執(zhí)行的動(dòng)作。

完成機(jī)器人抓取需要如下兩個(gè)過(guò)程：
·識(shí)別過(guò)程，屬于視覺(jué)和深度學(xué)習(xí)的范疇，在此不再贅述。
·獲取物體的三維空間描述，微分幾何。
三維空間中的物體有哪些特征呢？
 

曲率

為理解曲率，首先回到二維平面。什么是曲率？簡(jiǎn)答說(shuō)來(lái)，是幾何體的不平坦程度。平面曲線(xiàn)的曲率定義為其密切圓的倒數(shù)。采用微分的定義，密切圓在很小的范圍內(nèi)同曲線(xiàn)重合。故平面中的圓所有點(diǎn)曲率一直，為半徑的倒數(shù)，密切圓為其本身。直線(xiàn)曲率處處為0，因其密切圓半徑無(wú)窮大。

曲線(xiàn)的密切圓和密切圓半徑。曲率為半徑的倒數(shù)。

三維空間中可用曲率描述曲面。包括兩個(gè)主曲率、高斯曲率、平局曲率等。點(diǎn)的主曲率是通過(guò)此點(diǎn)曲線(xiàn)大和小曲率。高斯曲率為兩個(gè)曲率之積，平均曲率則是兩個(gè)主曲率之平均。

一些特殊情況，如負(fù)曲率，如馬鞍型，常見(jiàn)使用：冷卻塔，廣州塔。

二次曲線(xiàn)（Conics）和二次曲面（Quadrics）

二次曲線(xiàn)也稱(chēng)圓錐曲線(xiàn)，其在數(shù)學(xué)上的定位為一個(gè)正圓錐面和一個(gè)平面的相切形成的曲線(xiàn)。其公司可表述為：

 

其中A，B，C不得皆等于0。故常見(jiàn)的圓、橢圓、拋物線(xiàn)等皆屬于二次曲線(xiàn)。

二次曲面則是三維空間中常見(jiàn)的曲面，其一般公式為：

 

常見(jiàn)的二次曲面包括：


·橢球（Ellipsoid），形如

 

 

球體是橢球的一種特例


·雙曲面（Hyperbolic），形如

 

或

·圓錐體（elliptic cone），形如：

一些特殊二次曲面示例：

 

曲面擬合

在機(jī)器人抓取領(lǐng)域，一般采用深度相機(jī)作為傳感器。深度相機(jī)可直接獲取空間點(diǎn)云信息。對(duì)于特定物體的抓取，一般在檢測(cè)定位的基礎(chǔ)上，采用點(diǎn)云擬合的方式定位，從而獲取物體在深度相機(jī)坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)。常用的擬合有如下幾種：

·平面擬合。空間中的平面可由空間中一點(diǎn)和法向量唯yi確定。常用擬合方案有，主成分分析；小二乘法；隨機(jī)采樣法（RANSAC）。
·圓柱擬合。實(shí)際抓取場(chǎng)景中經(jīng)常碰到圓柱面物體的情況。實(shí)際點(diǎn)云擬合中，如果已知主軸方向，則可投影到平面中，做圓的擬合。如方向未知，可首先用PCA的方法確定主軸方向。

·球體擬合，看似復(fù)雜，實(shí)際只需確定圓心（一個(gè)點(diǎn)）和半徑。總共4個(gè)自由度（未知變量），可使用小二乘法或數(shù)值*化方法來(lái)確定。

 

不規(guī)則形狀

 

機(jī)器人抓取的實(shí)際場(chǎng)景中，一般曲面較為復(fù)雜，很難用簡(jiǎn)單公式表述。對(duì)于復(fù)雜曲面（曲線(xiàn)），一般采用ICP（IterativeClosestPoint）的方案完成自由形狀的對(duì)齊。

總結(jié)

曲率是描述空間中的曲線(xiàn)或曲面重要的特征。一般來(lái)說(shuō)，進(jìn)行機(jī)器人抓取，需要首先利用圖像信息確定物體的圖像位置，然后通過(guò)深度相機(jī)獲取的點(diǎn)云信息技術(shù)其幾何特性，完成抓取過(guò)程。曲面擬合和ICP的方案仍然有許多細(xì)節(jié)，在機(jī)器人抓取中需要特別注意。

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